同じ数字が出ないサイコロって、あるんだよ

トット

やあ、トットだよ。ボードゲームで「だれが先手？」ってサイコロを振ると、同じ目が出て「もう一回！」ってなること、あるよね。じつは、絶対に同じ目が出なくて、しかもだれにも有利じゃないサイコロが、ちゃんと存在するんだ。

結論：全部の面が違う数字で、しかも公平なサイコロがある
「同じ目が出ない」より、「公平」のほうがずっと難しい
5人目のサイコロには、15年かかった
ちなみに余談
まとめ

結論：全部の面が違う数字で、しかも公平なサイコロがある

その名は「Go First Dice（ゴー・ファースト・ダイス）」。日本語にすると「先手決めサイコロ」です。12面のサイコロ4個のセットで、1から48までの数字が4個に12個ずつ振り分けられています。全部の面が別々の数字なので、何人で振っても同じ目は出ません。振り直しは、起きようがないのです。

ただ、「同じ目が出ない」だけなら、だれでも作れます。1〜12のサイコロと37〜48のサイコロを用意すれば、同じ目は出ません。でもそれでは、後のサイコロが必ず勝ちます。このサイコロのすごいところは、そこではありません。

どのサイコロを取っても、勝つ確率が同じなのです。4人で振っても、そのうち2人だけ、3人だけで振っても、みんな同じ確率。さらに、「だれが1位か」だけでなく、「1位・2位・3位・4位の並び方」24通りがすべて同じ確率で出るように、数字が配置されています。つまり4人がそれぞれ1個ずつ振れば、一発で全員の順番が公平に決まります。

Go First Dice の4個セット。12面ダイス4個に1〜48の数字が重複なく振り分けられている — Go First Dice の4個セット。数字の並びは一見でたらめですが、この配置に意味があります

トット

数字を見ると、ばらばらに見えるよね。でもこの並びじゃないと、公平にならないんだ。

「同じ目が出ない」より、「公平」のほうがずっと難しい

2個なら、手で作れます。たとえば A が「1・4・5・8・9・12」、B が「2・3・6・7・10・11」。同じ目は出ませんし、A が勝つ組み合わせも B が勝つ組み合わせも、36通りのうち18通りずつで、きれいに半々です。

同じ目が出ないだけのだめな例と、公平な2個6面の例 — 「同じ目が出ない」だけなら簡単。難しいのは、だれにも有利にならないように配ること

3個でも、普通の6面サイコロで作れます。1から18までを「1・5・10・11・13・17」「2・6・8・9・14・18」「3・4・7・12・15・16」と分けると、3人のどの2人で振っても、3人で振っても、順番の出方が全部同じ確率になります（この記事を書くときに、全部の組み合わせを計算して確かめました）。

ところが4個になると6面では足りず、12面が必要になります。そして5個になると、難しさが一気に跳ね上がります。

5人目のサイコロには、15年かかった

このサイコロの話は、2010年ごろ、あるゲームの集まりで始まったそうです。ボードゲームデザイナーのジェームズ・アーネストが、パズル作家のエリック・ハーシュバーガーに「何人で遊んでも、振り直しなしで公平に先手を決められるサイコロは作れないか」と相談しました。

3個（6面）と4個（12面）の答えは、数学者のロバート・フォードが2010年に見つけました。4個のほうは手計算だったそうです。2012年にはハーシュバーガーがこの4個セットを発表し、実際に売り出されて、ボードゲーム好きの間で知られるようになりました。

問題は5個でした。長いあいだ「順位の出方まで完全に公平な5個セット」は見つからず、ハーシュバーガー自身も36面・48面・48面・54面・20面という面の数がばらばらのセットでようやく条件を満たす、というところまででした。そして2023年、カナダのソフトウェアエンジニア、ポール・マイヤーが60面のサイコロ5個で完全に公平なセットを発見します。最初の相談から、およそ15年。この「世界一公平なサイコロ」の話は、2026年9月にも海外の科学ニュースで取り上げられています。

ちなみに、5個セットで面の数を最小いくつまで減らせるかは、今も分かっていません。「先手を決める」というささいな目的のために、まだ解けていない数学の問題がぶら下がっているのです。

ちなみに余談

3人用なら、自分で作れます。家にある6面サイコロ3個に、丸いシールを貼って「1・5・10・11・13・17」「2・6・8・9・14・18」「3・4・7・12・15・16」と書けば、それだけで振り直しのいらない先手決めサイコロになります。数字の見た目はでたらめですが、大きい目が出た人が先手、で公平です。

もう一つ。60面のサイコロは「六十面体（ヘキサコンタヘドロン）」と呼ばれる、ほとんど球に近い形です。ころころとよく転がるので、止まるまで少し待つことになります。振り直しはなくなっても、待ち時間は少し増えるかもしれません。